Falls das Erstellen der Geogebra-Datei Probleme bereitet hat, es sonst irgendwelche Verständnisprobleme gab oder man sich das ganze vorkauen lassen möchte: ich möchte heute lieber arbeiten lassen
Einführung in die Integralrechnung
Wir sind unserem Hauptanliegen, die Bestimmung des Inhalts einer durch den Graphen einer Funktion begrenzten Fläche zu bestimmen schon ein ganzes Stück näher gekommen.
Du kannst nun mithilfe der Ober- und Untersumme die Fläche zwischen einem Graphen und der x-Achse näherungsweise bestimmen. Das geht aber natürlich noch genauer. Dafür suchen wir eine Funktionsgleichung, die jedem x-Wert den zugehörigen Flächeninhalt der Ursprungsfunktion angibt. Diese Funktion nennt man Flächeninhaltsfunktion oder auch Bestandsfunktion, da man mit ihr von einer Änderungsrate auf den Bestand schließen kann.
Im folgenden wirst du mithilfe einer von dir erstellten GeoGebra-Datei ein Verfahren entwickeln, welches dir eine Funktion ausgibt, die genau die oben beschrieben Eigenschaften erfüllt.
Anweisungsschritte bei Geogebra
Öffne dazu eine Geogebra Datei am besten mit einem Computer und führe alle folgende Schritte mit der Beispielfunktion aus. Anschließend führst du dem diese Schritte auch für andere Funktionen aus.
- Öffne GeoGebra, definiere die Funktion f(x)=x+1.
- Gib ins Eingabefenster den Befehl Integral ein. Es erscheint eine Auswahl von verschiedenen Integralbefehlen. Wähle hier: Integral( <Funktion>, <Startwert>, <Endwert> )
- Wähle als Funktion die vorher definierte Funktion f(x)=x+1, als Startwert den Koordinatenursprung und als Endwert die Variable a.
- Die jetzt angegebene Zahl gibt den Flächeninhalt der Fläche zwischen Funktionsgraph und x-Achse (rote Fläche) im Intervall 0 bis a an. Den dadurch erstellten Schieberegler kann man nutzen und man bekommt verschiedenen Werte für den Flächeninhalt angezeigt.
- Öffne im Menü die Tabellenansicht. Trage in die erste Spalte a und in die zweite Spalte b ein . Damit sollte in dem einen Feld nun der Wert für die Variable a stehen und in dem andern Feld der Wert für den Flächeninhalt der Fläche zwischen Funktionsgraph und x-Achse.
- Markiere nun beide Spalten, öffne das Menü durch klicken der rechten Maustaste und wähle „Erzeugen->Polygonzug“ aus.
- Im Grafikfenster erscheint ein Punkt. Klicke mit der rechten Maustaste auf diesen Punkt und wähle „Spur anzeigen“
- Wenn du nun den Schieberegler bewegst entsteht einen Spur aus Punkten, an denen man jeweils zu einem bestimmten Endwert den Flächeninhalt der roten Fläche direkt ablesen kann. Die Spur lässt einen funktionalen Zusammenhang vermuten, es sieht so aus, als würden diese Punkte auf einem Funktionsgraphen liegen. Würde man den Funktionsterm kennen, dann wäre es möglich mit seiner Hilfe den Flächeninhalt der jeweiligen grauen Fläche direkt zu bestimmen.
- Um den Funktionsterm zu ermitteln, musst du dir zunächst darüber Gedanken machen, welchen Grad die gesuchte Funktion haben könnte. Tipp: Erinnere dich an die typischen Verläufe von ganzrationalen Funktionen
- An was für einen Funktion erinnert dich die Spur der Punkte?
- Wir tragen die Spurpunke zunächst wieder in die Tabelle ein. Dazu klicken wir mit der rechten Maustaste auf den Spurpunkt und wählen „Werte in Tabelle eintragen“
- In der Tabelle werden die Spalten x(A) und y(A) erzeugt.
- Markiere diese beiden Spalten und wähle den Menüpunk „Analyse zweier Variablen“
- Anschließen muss man hier das passende Regressionsmodell wählen. In unseren Fall ist es ein Polynom vom Grad zwei.
- Geogebra gibt dir dadurch die Regressionskurve und die zugehörigen Funktionsgleichung an.
Aufgabe:
- Suche Dir aus der Tabelle mindestens drei Funktionen aus und führe die obigen Schritte erneut durch.
- Trage die ermittelten Funktionsterme in die Tabelle ein und versuche einen Zusammenhang zwischen dem Funktionsterm der Ausgangsfunktion und der Flächenfunktion zu entdecken, der für alle Funktionen gilt.
- Ermittle mithilfe deines entdecken Zusammenhangs die Funktionsterme der übrigen Flächenfunktionen der Tabelle.
